Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principa

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Juros Compostos

INTRODUÇÂO
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:

Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:
 
Capital
Juros
Inicial = 100
Simples
Compostos
Nº de anos
Montante
Montante
1
100 + 0,1(100) = 110
100,00 + 0,1(100,00) = 110,00
2
110 + 0,1(100) = 120
110,00 + 0,1(110,00) = 120,00
3
120 + 0,1(100) = 130
121,00 + 0,1(121,00) = 133,10
4
130 + 0,1(100) = 140
133,10 + 0,1(133,10) = 146,41
5
140 + 0,1(100) = 150
146,41 + 0,1(146,41) = 161,05
 
Observe que o crescimento do capital segundo juros simples é linear enquanto que o crescimento segundo juros compostos é exponencial, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:
 
grafico - juros
 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
 
Fórmula para o cálculo de Juros compostos: Considere o capital inicial (principal - P) R$ 1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M
2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
 
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n, onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
 
NOTA:Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
 
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.
 
Solução:Temos S = P(1+i)n.Logo, S/P = (1+i)n. Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem: n = log(S/P)/ log(1+i) = (log S – log P)/ log(1+i). Temos também da expressão que: n.log(1 + i) = logS – logP.
 
OBS.: Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
 
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
 
Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n. [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35.
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil. Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses.
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 
1 – Um capital de R$200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos. Resposta: $292820,00
 
2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resposta: aprox. 9,7 anos ou aprox. 9 anos e 9 meses.
Obs.: 9,7a = 9+0,7a = 9a+0,7x12m = 9a+8,4m = 9a+8m+0,4m = 9a+8m+0,4x30d = 9a+8m+12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses).
 
3 – Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o montante no fim do período? Resposta: R$ 1.215,51
 
4 – Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. Quais os juros gerados no período? Resposta: R$ 691.736,68
 
5 – Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? Resposta: 5,94% a.m.
 
6 – Calcule o montante de R$1000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias. Resposta: R$1013,89


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