Função Exponencial

Uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 0

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Função Exponencial

1 - Expoentes irracionais em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por bn = bxbx...xb (n fatores), b-n = 1/bn, b0 = 1 e bp/q = q√bp = (q√b)p = b-p/q = 1/ bp/q.

 

se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, (-2)2 = √-2. para evitar esta complicação, vamos supor que, b≥0 mesmo que não seja estabelecido explicitamente. Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como 2pi, 22, 2-7.

 

há vários métodos para definir potências irracionais. uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. por exemplo, para definir 2pi devemos começar com a representação decimal de pi, isto é, 3,1415926, desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de pi isto é, 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159 e a partir destes podemos formar uma sequência de potências racionais de 2: 23,1, 23,14, 23,141, 23,1415, 23,14159 uma vez que os expoentes dos termos desta sequência tendem a um limite pi, parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir 2pi como sendo este limite, a tabela abaixo fornece evidência numérica de que a sequência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 2pi 8,8250. em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir bp como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.

 

x = 3 ⇒ 2x = 8

x = 3,1415 ⇒ 2x = 8,824411

x = 3,1414592 ⇒ 2x = 8,824974

x = 3,1 ⇒ 2x = 8,574188

x = 3,141 ⇒ 2x = 8,821353

x = 3,14 ⇒ 2x = 8,815241

x = 3,14159 ⇒ 2x = 8,824962

 

2 - a família de funções exponenciais

uma função da forma f (x) = bx , onde b > 0 e b ≠ 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são f (x) = 2x , f (x) = (½)x, f (x) = 2pi.

note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. assim as funções tais como f (x) = x2 e f (x) = xn não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante. Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. Já a figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

 

 

 

 

 

 

Observação: se b = 1, então a função bx é constante, uma vez que bx = 1x = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

 

3 - Equações exponenciais chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais: 3x =81 (a solução é x=4); 2x-5=16 (a solução é x=9); 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) e 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1).

 

3.1 - Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;

2º) aplicação da propriedade: am = an ⇒ m = n (a 1 e a>0).

 

4 - Exercícios resolvidos:

1) 3x = 81. Solução: como 81 = 34, podemos escrever 3x = 34 e daí, x = 4.

 

2) 9x = 1. Solução: 9x = 1 9x = 90; logo x=0.

 

3) (3/4)x = 81/256. Solução: (3/4)x = 34/44 ⇒ x = 4.

 

4) 3x = 4√27. Solução: 3x = 4√33 ⇒ 3x = 33/4 ⇒ x = 3/4 .

 

5) 23x-1 = 322x. Solução: 23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x 3x-1=10 ⇒ x=-1/7.

 

6) Resolva a equação 32x – 6.3x – 27=0.

Solução: para resolver esta equação vamos fazer uma transformação. Observe que 32x = (3x)2. Feito isso, basta substituir 3x por y na equação, ou seja, (I) 3x = y. Substituindo na equação temos que: y2 6y – 27 = 0; resolvendo a equação temos que: y’= -3 e y’’ = 9, para achar o valor de x, devemos voltar os valores para a equação (I), substituindo os valores encontrados em I:

y’=-3 ⇒ 3x’ = -3 não existe x’, pois potência de base positiva é positiva;

y’’= 9 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2. Portanto a solução é x = 2.

 

 

6 - gráfico cartesiano da função exponencial temos 2 casos a considerar: Quando a>1 e quando 0<1.

 

<1

Exemplos

1º) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

 

x

-2

-1

0

1

2

y

1/4

½

1

2

4

 

2º) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<1) atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

<1)

 

x

-2

-1

0

1

2

y

4

2

1

1/2

1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que

a>1

 

 

0<1

f(x) é crescente e Im(f) = IR+, para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2 > x1 y2 > y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im(f) = IR+, para quaisquer x1 e x2 do domínio:
 
 
x2 > x1 y2 < y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

<1

 

7 - inequações exponenciais chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.

 

7.1- para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

2º) Aplicação da propriedade:

 

 

 
 
a>1
 
 
 
 
0
 
 
 
am > an m > n
 
(as desigualdades têm mesmo sentido)
 
 
am > an m < n
 
(as desigualdades têm sentidos diferentes)
 

 

7.2 Exemplos de inequações exponenciais:

1) Resolva a inequação: 4x-1 + 4x – 4x+1 > -11/4.

Solução: A inequação pode ser escrita da seguinte forma: (4x/41) + 4x – 4x.41 > -11/4. Agora multiplicando ambos os membros por 4, temos: 4x.(4/4) + 4.4x – 4x.42 > -11, efetuando os devidos cálculos, chegamos a, 4x.1 + 4.4x – 4x.16 > -11 4x + 4.4x – 16.4x > -11. Aplicando a propriedade distributiva (Colocando o fator comum em evidência) teremos (1+4+16).4x > -11 ⇒ -11.4x > -11 ⇒ 4x > -11/-11. Aqui temos que ter bastante atenção para não errar o sinal. Multipliquemos a desigualdade por (-1), observe que, o sinal de '>' deve ser trocado por '<' daí, 11.4x < 11 ⇒ 4x < 11/11 ⇒ 4x < 1, como 1 = 40 (pois, todo número real não nulo elevado ao expoente zero é igual a um). Concluimos que x < 0. S = IR- (Reais negativos).

 

2)Resolva as inequações abaixo:

a) 3x > 81. (Solução: x > 4);

b) 22x-2 2x.x-1. (Solução: Valida para todo x real);

c) (4/5)x (4/5)-3. (Solução: x≤ -3);

d) 25x – 150.5 + 3125. (Solução: 2

 

 


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