Teoria dos números - Exercícios de Indução Matemática

Questões de Indução Matemática(respondidas). Estas questões fazem parte da série questões respondidas do livro: TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS, autoria de EDGARD DE ALENCAR FILHO - 3ª edição. 1985. Livraria Nobel S.A e editadas por Cesario Ferreira

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Teoria dos números - Exercícios de Indução Matemática

 

 

 

 

 

Os exercícios abaixo são demonstrados usando a seqüência:
(1)  Verificar se a propriedade é válida para um certo valor de “n”
(2)  Supor a propriedade válida para “n”. (hipótese de recorrência)
(3)  Provar que a propriedade é válida para “n + 1”

1 – Demonstrar por “indução matemática”:

(a)  12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) , "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1   (1/6)(1 + 1)(2 + 1) = (1/6)(2)(3) = (1/6)(6) = 1 = 12.
(2) Hipótese: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1).
(3) Provar      12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = [(n+1)/6](n + 2)(2n + 3)

Demonstração:  
12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
= (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 (observe que a soma até n2  é (n/6)(n + 1)(2n + 1) è
è12 + 22 + 32 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n +1)[(n/6)(2n + 1) + (n + 1)] = 
= (n + 1)(1/6)(2n2 + n + 6n + 6) = (n + 1)(1/6)(2n2 + 7n + 6) * = 
= (n + 1)(1/6).2(n + 3/2) .(n + 2) = [(n + 1)/6](n + 2)(2n + 3)   c.q.d.

* Nota:- O polinômio ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2 pode ser decomposto em a(x – x1)(x – x2).
Como as raízes de 2n2 + 7n + 6 são –2 e –3/2, temos 2n2 + 7n + 6 = 2.(n + 3/2)(n + 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

(b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos:   13 = 1    e  (12/4)(1 + 1)2 = (1/4)(4) = 1. 
Portanto, a propriedade é válida para n = 1.
(2) Hipótese   13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n2/4)(n + 1)2
(3) Provar   13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = [(n+1)2/4](n + 2)2.

 

 

Demonstração:
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = (n2/4)(n + 1)2 + (n + 1)3
= [(n + 1)2].[(n2/4) + (n + 1)] = [(n + 1)2].(1/4)(n2 + 4n + 4) =
= [(n + 1)2/4](n + 2)2   c.q.d.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(c) 12 + 32 + 52 + ..... + (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos: 12 = 1 e (1/3)(4.12 – 1) = 1. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1 .
(2) Hipótese: 
12 + 32 + 52 +...+ (2n – 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) = (1/3) (4n3 + 12n2 + 11n + 3)
(3) Demonstrar que 
12 + 32 + 52 + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 = [(n + 1)/3)[4(n + 1)2 – 1] = 
= (1/3)(n + 1)[4n2 + 8n + 3] = (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3).

Demonstração:
12 + 32 + 52 +..... + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 = (n/3)(4n2 – 1) + (2n + 1)2
= (n/3)(2n + 1)(2n – 1) + (2n + 1)2 = (2n + 1)[(n/3)(2n – 1) + (2n + 1)] = 
= [(2n + 1)/3](2n2 – n + 6n + 3) = [(2n + 1)/3][2n2 + 5n + 3] = 
= (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3) . c.q.d.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d) 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 = n2.(2n2 – 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos 13 = 1 e 13.(2.13 – 1) = 1.(2 – 1) = 1. 
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 13 + 33+ 53 + ... + (2n – 1)3 = n2.(2n2 – 1) .
(3) Provar que 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 + (2n + 1)3
=(n + 1)2.[2.(n + 1)2 – 1] = (n + 1)2.(2n2 + 4n + 2 – 1) = 
= (n + 1)2.(2n2 + 4n + 1) = 2n4 + 8n3 + 11n2 + 6n + 1

Demonstração:
13 + 33 + 53 + ... + (2n – 1)3 + (2n + 1)3 = n2.(2n2 – 1) + (2n +1)3
= 2n4 – n2 + 8n3 + 12n2 + 6n + 1 = 2n4 + 8n3 + 11n2 + 6n + 1. c. q. d.

 

 

 
 

(e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2),  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1:  1.2 = 2 e (1/3)(1 + 1)(1 + 2) = (1/3)(2)(3) = 2.
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2)
(3) Provar que: 
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3).

Demonstração:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = 
= (n/3)(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)[(n/3) + 1] =
= (n + 1)(n + 2)[(n + 3)/3] = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3). c. q. d.

 

(f) 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1: 2 – 1/1 = 1 < 1. Verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n ,  "n é n° natural".
(3) Provar: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 – 1/(n + 1).

Demonstração:
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 < 2 – 1/n 
Somando 1/(n + 1)2 aos dois membros da desigualdade, resulta:
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 – 1/n + 1/(n + 1)2 (1)
Temos que:
[(1/n) –1/(n + 1)2] = [(n + 1)2 - n]/[n.(n + 1)] = [(n2 + n + 1)]/[n(n + 1)2]. (2)
Porém:  
[(n2 + n + 1)]/[n(n + 1)2] > (n2 + n)/n(n + 1)2 = [n.(n+1)]/[n.(n+1)2] = 1/(n + 1) (3)
De (2) e (3)  2 – [(1/n) –1/(n + 1)2] < 2 - 1/(n +1) (4).
Portanto, de (1) e (4), por transitividade, 
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + 1/(n + 1)2 < 2 - 1/(n +1). cqd.

 

(g) a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) (q ¹ 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 2: S =  a + aq + aq2 .(1)
Temos ainda que: S = a(q2+1 – 1)(q – 1) = a(q3 – 1)/(q – 1) = 
= a(q2 + q + 1)(q – 1)/(q – 1) = aq2 + aq + a = a + aq + aq2. (2)
De (1) e (2)conclui-se que: a igualdade é válida para n = 2.
(2) Hipótese a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) 
(3) Provar que a + aq + aq2 + ... + aqn + aqn + 1 = a(qn + 2 – 1)/(q – 1) 

Demonstração:
a + aq + aq2 + ... + aqn + aqn + 1 = a(qn + 1 – 1)/(q – 1) + aqn + 1 = [aqn+1 – a + aqn+1(q – 1)]/(q – 1) = 
= (aqn + 1 – a + aqn + 2 – aqn+1)/(q – 1) = (aqn+2 – 1)/(q – 1). c.q.d.


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