Uma igualdade notável

Vamos resolver uma questão aparentemente difícil, mas simples e que envolve um conhecimento básico de produtos notáveis, conhecimento das operações fundamentais, a propriedade distributiva e um pouco de álgebra.

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Uma igualdade notável

Vamos resolver uma questão aparentemente difícil, mas simples e que envolve um conhecimento básico de produtos notáveis, conhecimento das operações fundamentais, a propriedade distributiva e um pouco de álgebra.

A questão consiste em mostrar que a seguinte igualdade é verdadeira, sendo x,y,z números reais:


x2 – 6x +9 – y2 – 2yz – z2 = (x-3-y-z)(x-3+y+z)


Primeiramente vamos definir de qual membro vamos começar, pois como se trata de uma igualdade podemos partir tanto do primeiro quanto do segundo. Sabemos também que mostrar uma igualdade é semelhante a mostrar duas implicações, isto é,


I) x2 – 6x +9 – y2 – 2yz – z2 => (x-3-y-z)(x-3+y+z)

II) (x-3-y-z)(x-3+y+z) => x2 – 6x +9 – y2 – 2yz – z2


Comecemos pela primeira implicação. Se olharmos com atenção perceberemos que:

x2 – 6x +9 = (x-3)(x-3). Pois, x2 – 2.3x + 32 é o quadrado da diferença que costuma ser ensinado assim: o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Na expressão acima o primeiro elemento é x e o segundo é 3, daí chegamos a (x-3)(x-3) = (x-3)2.


Na segunda expressão – y2 – 2yz – z2, aparentemente não temos um produto notável, mas se arrumarmos um pouco a expressão veremos que se trata do simétrico do quadrado da soma, pois, aplicando a propriedade distributiva temos que: – y2 – 2yz – z2 = – (y2 + 2yz + z2).

Observe que a expressão dentro do parentese no segundo membro pode ser lida assim: o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, sendo y o primeiro elemento e z o segundo. Visto isso, podemos reescrever o segundo membro da seguinte forma:

– [(y+z)(y+z)] então -y2 – 2yz – z2 = – [(y+z)(y+z)] = –(y+z)2

Unindo as duas expressões, temos que: (x-3)2 – (y+z)2. Aqui novamente um produto notável? Qual produto notável se parece com essa expressão? Para responder às perguntas modifiquemos um pouco as expressões.

Façamos, (x-3) = a e (y+z) = b. Chegando a a2 – b2, ou seja, a diferença entre dois quadrados, o qual costuma ser enunciado da seguinte maneira: o quadrado do primeiro, menos o quadrado do segundo, sendo a, o primeiro elemento e b, o segundo.

Reescrevendo a expressão: a2 – b2 = (a-b)(a-b). Substituindo os valores de a e b, respectivamente por x-3 e y+z, chegamos a: [x-3-(y+z)][x-3-(y+z)]. Aplicando a distributiva, teremos (x-3-y-z)(x-3+y+z), como queríamos mostrar.


Resumo:

x2 – 6x +9 – y2 – 2yz – z2 =

= (x-3)(x-3) – [(y+z)(y+z)] =

= (x-3)2 – (y+z)2 =

= [x-3-(y+z)][x-3-(y+z)] =

= (x-3-y-z)(x-3+y+z).


Do que vimos até aqui já podemos concluir, não só que a primeira implicação é verdadeira, mas que ambas o são. Portanto a igualdade é verdadeira. Mas, porquê? Você seria capaz de mostrar a segunda implicação? É necessário?


Observação: Use o formulário abaixo para deixar suas respostas aos questionamentos feitos no último parágrafo.


Bons estudos e até a próxima!


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