OBMEP 2005 – Nível I - 2ª fase

Esse é o segundo texto da série 'OBMP' na qual, serão respondidas questões das provas da Olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas desde 2005 até 2012. Nessa aula vamos responder a prova OBMEP 2005 – nível I/2a Fase

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OBMEP 2005 – Nível I - 2ª fase

QUESTÃO 1 – Tia Anastácia uniu quatro retângulos de papel de 3 cm de comprimento por 1 cm de largura, formando a figura ao lado.

 

A) Qual é o perímetro da figura?

 

B) Qual é o menor número de retângulos de 3 cm de comprimento por 1 cm de largura que é necessário juntar a essa figura para se obter um quadrado? Faça um desenho ilustrandosua resposta.

 

C) Qual é a área do quadrado obtido no item anterior?

A) Solução 1: Ao juntar os retângulos, cada um “perdeu” um lado de 1 cm e mais 1 cm em um lado de comprimento 3 cm, ou seja, 2 cm no total. Como o perímetro de cada retângulo é 8 cm, o perímetro da figura é 4 × 8 − 4 × 2 = 24 cm.

 

Solução 2: A figura tem 4 lados de 3 cm, 4 lados de 2 cm e 4 lados de 1 cm, logo seu perímetro é 4 × 3 + 4 × 2 + 4 × 1 = 24 cm.

 

B) A resposta está na figura ao lado, onde vemos que basta juntar 8

retângulos à figura original para formar o quadrado.

 

C) Solução 1: Cada retângulo tem área igual a 3 × 1 = 3 cm2. Como o quadrado é composto de 12 retângulos, a sua área é igual a 12 × 3 = 36 cm2.

 

Solução 2: Observando a figura, vemos que cada lado do quadrado tem comprimento igual a 3 × 1 + 3 = 6 cm. Portanto, sua área é 6 × 6 = 36 cm2.

 

QUESTÃO 2 – Numa aula de Matemática, a professora inicia uma brincadeira, escrevendo no quadro-negro um número. Para continuar a brincadeira, os alunos devem escrever outro número, seguindo as regras abaixo:

 

1. Se o número escrito só tiver um algarismo, ele deve ser multiplicado por 2.

2. Se o número escrito tiver mais de um algarismo, os alunos podem escolher entre apagar o algarismo das unidades ou multiplicar esse número por 2.

 

Depois que os alunos escrevem um novo número a brincadeira continua com este número, sempre com as mesmas regras. Veja a seguir dois exemplos desta brincadeira, um começando com 203 e o outro com 4197:

 

 

 

 

A) Comece a brincadeira com o número 45 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1.

 

B) Comece agora a brincadeira com o número 345 e mostre uma maneira de prosseguir até chegar ao número 1.

 

C) Explique como chegar ao número 1 começando a brincadeira com qualquer número natural diferente de zero.

 

Solução:

A) Há várias soluções, como por exemplo

apaga

dobra

dobra

apaga

 

45

4

8

16

1

 

dobra

apaga

dobra

apaga

 

45

90

9

18

1

 

B) Aqui também há várias soluções, como por exemplo

apaga

apaga

dobra

dobra

apaga

 

345

34

3

6

12

1

 

apaga

dobra

apaga

dobra

apaga

 

345

34

68

6

12

1

 

C) Aplicamos a regra “apaga” até sobrar apenas um algarismo, e temos então três casos:

1. Este algarismo é igual a 1 e a brincadeira acaba.

2. Este algarismo é 2, 3 ou 4 : neste caso aplicamos a regra “dobra” algumas vezes até obter um número de dois algarismos cujo algarismo das dezenas seja 1 (16, 12 ou 16, respectivamente), e aplica-se a regra “apaga” obtendo o número 1.

 

3. Este algarismos é 5, 6, 7, 8 ou 9: neste caso aplica-se a regra “dobra” uma vez, obtendo respectivamente 10,12, 14, 16 ou 18; então aplica-se a regra “apaga” para obter o número 1.

 

QUESTÃO 3 Emília quer encher uma caixa com cubos de madeira de 5cm de aresta. Como mostra a figura, a caixa tem a forma de um bloco retangular, e alguns cubos já foram colocados na caixa.

 

A) Quantos cubos Emília já colocou na caixa?

 

B) Calcule o comprimento, a largura e a altura da caixa.

 

C) Quantos cubos ainda faltam para Emília encher a caixa completamente, se ela continuar a empilhá-los conforme indicado na figura?

 

A) Solução 1: Podemos contar os cubos em camadas a partir do fundo da caixa ; na primeira camada temos 14 cubos visíveis e 4 não visíveis, cuja existência é evidente pois há cubos sobre eles. Na segunda camada há 3 cubos visíveis e 1 oculto; a terceira camada tem 2 cubos, a quarta camada tem 3 cubos, a quinta camada tem 2 cubos e finalmente duas camadas de 1 cubo cada, totalizando (14 + 4) + (3 + 1) + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 31 cubos.

 

Solução 2: Podemos contar os cubos em camadas, a partir da parte de trás da caixa, à esquerda, por exemplo: na primeira camada temos 11 cubos, 3 deles não visíveis; na segunda camada, temos 4 cubos, na terceira camada temos 5 cubos, na quarta camada temos 2 cubos e, nas 6 camadas a seguir, 1 cubo cada. O total de cubos é igual a 11 + 3 + 4 + 5 + 2 + 6 = 31.

 

Solução 3: Ao longo do comprimento da caixa, no fundo, há uma fila com 10 cubos, nem todos visíveis; à esquerda, ao longo da largura da caixa, há uma fila com 7 cubos. Ao longo da altura, vemos no fundo, uma pilha com 6 cubos. Fora dessas filas, há um total de 10 cubos visíveis. Portanto, já foram colocados na caixa 10 + 7 + 6 − 2 + 10 = 31 cubos – devemos subtrair 2 pois o cubo que está no canto da caixa foi contado três vezes (ao longo do comprimento, da largura e da altura).

 

B) O comprimento da caixa corresponde a 10 cubinhos; logo este comprimento é igual a 10 × 5 = 50 cm; do mesmo modo, a largura é igual a 7 × 5 = 35 cm e a altura é igual a 6 × 5 = 30 cm.

 

C) Solução 1: O número máximo de cubos que a caixa comporta, empilhados como indicado, é igual ao produto do número de cubos que podem ser colocados ao longo de cada uma das dimensões (comprimento, largura, altura) da caixa, ou seja , 10 × 7 × 6 = 420 cubos. Como já foram colocados 31 cubos, faltam 420 − 31 = 389 cubos para encher a caixa completamente.

 

Solução 2: A contagem pode ser feita de forma direta a partir de camadas. Por exemplo, começando do fundo, na primeira camada faltam 6 × 10 − 18 = 42 ; na segunda, faltam 60 − 4 = 56 ; na terceira faltam 6 × 10 − 2 = 58 ; na quarta faltam 6 × 10 − 3 = 57 na quinta, faltam 6 × 10 − 2 = 58 ; na sexta e na sétima faltam na 6 × 10 − 1 = 59 . Logo, o número de cubos que faltam é 42 + 56 + 57 + 2 × 58 + 2 × 59 = 115 + 116 + 118 = 389 .

 

QUESTÃO 4 – A caminhonete do Tio Barnabé pode carregar até 2 000 quilos. Ele aceita um serviço para transportar uma carga de150 sacas de arroz de 60 quilos cada e 100 sacas de milho de 25 quilos cada.

 

A) Você acha possível que o Tio Barnabé faça esse serviço em cinco viagens? Por quê?

 

B) Descreva uma maneira de fazer o serviço em seis viagens.

 

Solução: A) Tio Barnabé tem que transportar uma carga total de 150 × 60 + 100 × 25 = 9000 + 2500 = 11500 quilos. Como a carga máxima da caminhonete é 2000 quilos, em cinco viagens Tio Barnabé poderá transportar no máximo 5 × 2000 = 10000 quilos, faltando ainda 11500 − 1000 = 1500 quilos para completar o serviço. Logo, não é possível fazer o serviço em apenas 5 viagens.

 

B) Solução 1: Tio Barnabé pode fazer 5 viagens carregando, em cada uma, 30 sacas de arroz e 8 de milho, totalizando 30 × 60 + 8 × 25 = 1800 + 200 = 2000 quilos. Em cinco viagens, ele levaria 30 × 5 = 150 sacas de arroz e 5 × 8 = 40 sacas de milho, restando 100 − 40 = 60 sacas de milho, pesando 60 × 25 = 1500 quilos, que poderiam ser todas transportadas na sexta viagem.

 

Solução 2: Tio Barnabé pode fazer 5 viagens levando, em cada uma, 28 sacos de arroz e 12 de milho, totalizando 28 × 60 + 12 × 25 = 1980 quilos em cada viagem; na sexta viagem ele pode levar os 10 sacos de arroz e os 40 de milho restantes, totalizando 10 × 60 + 12 × 25 = 1600 quilos.

 

Q UESTÃO 5 Dona Benta dividiu o Sítio do Picapau Amarelo entre seis personagens, mantendo uma parte do Sítio como reserva florestal. A divisão está indicada na figura, onde a área de cada personagem é dada em hectares e a área sombreada é a reserva florestal. O Sítio tem formato retangular e AB é uma diagonal.

A) Qual é a área da reserva florestal?

 

B) Para preparar os terrenos para o plantio, cada um dos seis personagens gastou uma quantia proporcional à área de seu terreno. O Quindim e a Cuca gastaram, juntos, R$ 2.420,00. Quanto foi que o Saci gastou?

 

Solução:

A) Um retângulo fica dividido em duas regiões de mesma área por sua diagonal. Logo os terrenos de Quindim, Visconde de Sabugosa e Cuca, juntos, têm área igual à metade da área do Sítio. Esses terrenos somam 4 + 7 + 12 = 23 hectares. A outra metade do Sítio tem a mesma área e é igual à soma das áreas dos terrenos de Saci, Narizinho, Rabicó e da reserva florestal. Portanto 6 + 5 + 10 + (área da reserva) = 23 ha, ou seja, a área da reserva é igual a 23 − 21 = 2 ha. 2420

 

B) Quindim e Cuca, juntos, possuem 4 + 7 = 11 ha. Assim, gastaram 2420/11= 220 reais por hectare. Como o terreno de Saci tem 6 ha, ele gastou 6 × 220 = 1320 reais.

 

QUESTÃO 6 – Pedrinho escreveu todos os números inteiros compreendidos entre 100 e 999 cuja soma dos algarismos é 12. Por exemplo, os números 129 e 750 aparecem entre os números escritos.

 

A) Quantos números escritos têm apenas dois algarismos iguais?

 

B) Quantos números escritos são formados apenas por algarismos ímpares?

 

Solução:

A) O algarismo 1 não pode ser repetido porque não é possível escrever 12 como uma soma da forma 1 + 1 + x onde x é um algarismo; de fato, como x é no máximo 9, esta soma será no máximo 11. O algarismo 4 também não pode ser repetido pois neste caso o número teria que ser 444, que tem três algarismos iguais e não está de acordo com o enunciado. Finalmente, os algarismos 7, 8 e 9 não podem ser repetidos, pois neste caso a soma dos algarismos ultrapassaria 12. Assim, o algarismo repetido só pode ser 2, 3, 5 ou 6. Com 2, 3 e 5 podemos formar 9 números: 228, 282, 822, 336, 363, 633, 552, 525 e 255. Com o algarismo 6 podemos formar 2 números: 606 e 660. Portanto a quantidade de números escrita é 9 + 2 = 11 .

 

B) A soma de três números ímpares é um número ímpar. Como 12 é par, vemos que é impossível achar três algarismos ímpares cuja soma é 12. Logo nenhum dos números escritos tem os três algarismos ímpares.


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