Algumas questões de aritmética respondidas

Nove questões de aritmética respondidas.

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Algumas questões de aritmética respondidas

1 – Em uma festa de aniversário cada convidado deveria receber o mesmo número de chocolates. Três convidados mais apressados se adiantaram e o primeiro comeu 2, o segundo 3, e o terceiro 4 chocolates além dos que lhe eram devidos, resultando no consumo de metade dos chocolates da festa. Os demais chocolates foram divididos igualmente entre os demais convidados e cada um recebeu um a menos do que lhe era devido. Quantos foram os chocolates distribuídos na festa?
a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 e) 36
 
Solução: Digamos que tínhamos n chocolates e Q convidados. Portanto, a quantidade que cada convidado deveria receber era n/Q

O primeiro apressado comeu 2+(n/Q) o segundo apressado comeu 3+(n/Q) e o terceiro comeu 4+(n/Q). É dito que essa comilança levou ao término de metade dos chocolates, ou seja, podemos escrever a equação: 2+(n/Q) + 3+(n/Q) + 4+(n/Q) = n/2.

Se eles comeram metade dos chocolates, sobrou a outra metade para o restante dos convidados. Ou seja, n/2 para os outros Q-3 convidados.

Na nova partilha, cada um ganhou (n/2)/(Q-3) e é dito que este valor equivale à quantidade original que cada um tinha direito menos um, ou seja, (n/Q)-1.Podemos escrever a equação: (n/2)/(Q-3) = (n/Q)-1.
 
Agora com estas duas equações temos um sistema para resolver.
Isolando o valor de Q na primeira equação encontramos: Q = 6n/(n-18) e para facilitar, temos também n/Q = (n-18)/6.
Substituindo estes valores na segunda equação e resolvendo, chegamos em: n =36
2 – Uma escola deverá distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá?
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42
 
Solução: Usaremos os conhecimentos sobre MDC para resolver esse problema. Temos que: MDC(9072, 1260) = 252. Dividindo as bolas de cada cor pelo MDC encontrado teremos: 9072 : 252 = 36 e 1260 : 252 = 5
Cada aluno recebera um total de
36 + 5 = 41 bolas de gude.

Podemos resolver também dessa maneira:
(9072 + 1260)/252 = 41 já que não precisamos saber o numero de bolas de cada cor que sera dado a cada aluno.
Resposta encontrada em:
http://pir2.forumeiros.com/t901-problema-bolas-de-gude
 
3 – No nosso calendário os anos têm 365 dias com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400. Quantas semanas completas possuem 400 anos consecutivos?

A) 20.871 B) 20.870 C) 20.869 D) 20.868 E) 20.867
Solução: No nosso calendário os anos têm 365 dias com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400. Quantas semanas completas possuem 400 anos consecutivos?
Por exemplo: de 1601 a 2000, não foram bissextos: 1700, 1800 e 1900, ou seja 3 anos. Daí, teremos que: 400/4 – 3 = 97 anos bissextos.
Logo, nesses 400 anos houve:
400 x 365 + 97 ("29 de fevereiro") = 146.097 dias
e
146.097/7 = 20.871 semanas inteiras.
4 – O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214·353, inclusive 1 e N, é:

A) 84 B) 86 C) 140 D) 160 E) 162
 
Solução: N = 214 .353 => N = (3.7)4. (5.7)3 => N = 34 .74. 53.73 => N = 34 . 53.73+4
=> N = 34 . 53.77 => n(D) = (4 + 1)*(3 + 1)*(7 + 1) => nD = 160
 
5 – Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segunda-feira será

a) 2012 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2020
 
Solução: 1) Todo ano não-bissexto tem 365 dias que, dividindo por 7, se obtém 52 com resto "1",então, se tem resto 1, o ano termina no mesmo dia que começou e o ano seguinte começa no ''dia seguinte'',logo 2007 terminou segunda e 2008 começou terça-feira.

Se resto ''2''(ano bissexto), então esse ano termina no ''dia seguinte'' ao dia que o mesmo começou e o ano seguinte começa 2 dias depois ao mesmo dia que o ano anterior começou (2008 começou terça, terminará quarta e 2009 começará quinta).

2)Para que o ano Y comece no mesmo dia que o ano X começou (Y maior que X), então Y deverá começar ''n dias depois'' ao dia que X começou (''n'' é divisível por 7).

Então:

2007 - segunda
2008 - +1
2009 - +2
2010 - +1
2011 - +1
2012 - +1
2013 - +2 = 8 (não é divisível por 7)
2014 - +1
2015 - +1
2016 - +1
2017 - +2 =13
2018 - +1 =14 (é divisível por 7)
2019 - +1
2020 - +1
...
*Então a resposta é ''2018''.
6 – A soma das frações irredutíveis,positivas,menores do que 10, de denominador 4 é?
 
Solução1: fração irredutível é aquela que não pode ser simplificada
(1/4 , 3/4 , 5/4 , 7/4 .,9/4 , 11/4 ...39/4)

r = 3/4 - 1/4 = 1/2
Sn = (a? + an ) . n/2 = (1/4 + 39/4) . n/2 = 5n

an = a? + ( n - 1) . r => 39/4 = 1/4 + n/2 - 1/2 => n = 20

Sn = 5n = 5 . 20 = 100
 
1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + .... + 39/4

primeiro termo: 1/4
razão: 2/4
último termo: 39/4
total termos: 20

S = 20.(1/4 + 39/4) / 2 => 20.(10) / 2 => S = 100
 
Solução2: A forma geral das frações que atendem ao enunciado da questão é n/4 onde n é um número inteiro positivo, com a condição mdc(n, 4) = 1, onde mdc = máximo divisor comum. Esta condição da obrigatoriedade de mdc (n, 4) = 1, decorre da informação dada no enunciado, de que as frações são irredutíveis, ou seja, o numerador n e o denominador 4 devem ser números primos entre si.

Posto isso, poderemos escrever com base no enunciado, que
n / 4 < 10, de onde tiramos que n < 40, já que n é positivo. Percebemos facilmente que n não pode ser par, pois isto contrariaria a condição mdc (n, 4) = 1.

Assim, os valores possíveis para
n seriam:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 e 39, num total de 20 valores possíveis.

A soma procurada de todas as frações irredutíveis da forma n / 4, será igual então a:

S = 1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + ... + 37/4 + 39/4

Observando atentamente o segundo membro da igualdade acima, verificamos que se trata da soma dos termos de uma
Progressão Aritmética de primeiro termo 1 / 4 e razão 1 / 2, pois, 3 / 4 – 1 / 4 = 5 / 4 – 3 / 4 = 7 / 4 – 5 / 4 = ... = 2 / 4 = 1 / 2.

Então, a soma procurada será dada por:

S = 1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + ... + 31/4 + 33/4 + 35/4 + 37/4 + 39/4
S = (1/4 + 39/4) + (3/4 + 37/4) + (5/4 + 35/4) + (7/4 + 33/4) + ... , num total de 10 parcelas, já que agrupamos os 20 valores possíveis em 10 grupos de 2.
Observe que cada uma das 10 parcelas é igual a 10. Logo,
S = 10.10 = 100, que é o valor da soma procurado, o que nos leva tranquilamente à alternativa E.
 
 
7 – A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é

a) 29. b) 97. c) 132. d) 184. e) 252.
 
Sejam m e n os dois números naturais com m > n. De acordo com a hipótese, temos:
m²-n² = (m+n)(m-n) = 21 = 7.3

Já que a fatoração de um número natural em números primos existe e é única,
pode-se inferir que
m+n = 7 (1)
m-n = 3 (2)

(1)+(2) <=> 2m = 10 <=> m = 5 (3)

de (3) em (1), vem que n = 2. Por fim, temos que m²+n² = 25+4 = 29.

8 - Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria 1 ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
 
x = quantidade de ações para cada um dos 3 netos
y = quantidade de ações para cada um dos 4 netos

3x + 1 = 4y + 3

PA(I) = 4,
7 , 10, 13, 16, 19 , 22, 25, 28, 31 , 34, 37, 40, 43, ...
PA(II) =
7 , 11, 15, 19 , 23, 27, 31 , 35, 39, 43, ...

4y + 3 = 31 => 4y = 31 - 3 = 28 => y = 28/7 =>
y = 7
 
9 - Uma concessionaria vendeu no mes de outubro n carros de tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. SAbendo-se que o numero de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, e que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n, m) = 18, os valores de n e m são respectivamente:
 
a) 18, 198 b) 36, 180 c) 90, 126 d) 126, 90 e) 162, 54
 
Solução: n = 18.a e m = 18.b Escrevemos assim porque 18 é o MDC, e além disso a e b não tem divisores comuns (se não 18 não seria o MDC). Ainda, a < b, pois n < m.

n + m = 216 => 18a + 18b = 216. Logo, a + b = 12

Sendo a e b inteiros, com a < b, eles poderiam ser respectivamente:
1 e 11; 2 e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7

Contudo, a e b não tem múltiplos comuns, então sobram: 1 e 11; 5 e 7

Além disso, m e n > 20, portanto, a e b > 1. Sobra apenas a = 5 e b = 7.
Portanto, n = 90 e b = 126


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